Programació lineal
--- Introducció ---
Aquest mòdul conté actualment 22 exercicis sobre programació lineal.
Optimitzar analíticament 1
D'un problema de programació lineal es disposa de la representació gràfica de la regió de solucions possibles.
Màx
rangex rangey linewidth 2 plot black, vline 0,0, black hline 0,0, black fill ,, text black,10.7,0.4, small, x text black,0.1,10.9, small, y text black,0.2,-0.1, large, O text black,+0.2,+0.3, large, A text black,+0.2,+0.4, large, B
Trobeu els vèrtexs d'aquesta regió i el valor de la funció objectiu en cadascun d'ells.
| Vèrtexs | Valor de la funció | |
|
|
| Quantes solucions té el problema? |
|
|
|
|
|
|
|
Molt bé!
I el valor màxim,
, s'assoleix al punt
I el valor màxim,
, s'assoleix a
del segment
Optimitzar gràficament 1
D'un problema de programació lineal es disposa de la representació gràfica de la regió de solucions possibles, de la recta corresponent al valor nul de la funció objectiu i d'una de les rectes del seu feix de rectes paral·les.
Màx
Quantes solucions té aquest problema?
I el valor màxim,
, s'assoleix al punt
I el valor màxim,
, s'assoleix a
del segment
Optimitzar gràficament 2
D'un problema de programació lineal es disposa de la representació gràfica de la regió de solucions possibles, així com la recta corresponent al valor nul de la funció objectiu i una de les rectes del seu feix de rectes paral·les.
Pot ajudar-te a resoldre el problema moure el punt
. Pots fer-ho clicant-hi damunt i arrossegant-lo amb el ratolí o, també, clicant-hi damunt i utilitzar les tecles de moviment del cursor.
Màx
Quantes solucions té aquest problema?
I el valor màxim,
, s'assoleix al punt
I el valor màxim,
, s'assoleix a
del segment
Problema 1
Suposem que un botiguer va al mercat central amb la seva furgoneta que té fixat un pes màxim de càrrega, i amb una certa quantitat de diners a la butxaca, a comprar fruita per a la seva botiga. Hi troba taronges i pomes.
Tenint en compte que s'ha anomenat
a la quantitat de taronges que compres (en
) i
a la quantitat de pomes que compres (en
), ens donen la representació gràfica següent:
Sabent que la regió de solucions possibles està determinada pels vèrtexs:
,
,
i
.
| Quin és el pes màxim de càrrega del seu vehicle? |
|
| Quina és la quantitat de diners que porta a la butxaca? |
|
| Quin és el preu de les taronges? |
|
| Quin és el preu de les pomes? |
|
Problema 2
Suposem que un botiguer va al mercat central amb la seva furgoneta en la que pot carregar un màxim de
, i porta
a la butxaca, a comprar fruita per a la seva botiga. Hi troba taronges i pomes. El preu de les taronges és de
i el de les pomes
. Si el benefici que en treu de les taronges és de
i el de les pomes és de
. Quantes taronges i quantes pomes ha de comprar per tal d'obtenir-ne el màxim benefici?
Tenint en compte que s'ha anomenat
a la quantitat de taronges que compra (en
) i
a la quantitat de pomes que compra (en
), i ens donen la representació gràfica següent:
Sabent que la regió de solucions possibles està determinada pels vèrtexs:
,
,
i
.
I que la formulació del problema és la següent:
Màx
Quantes solucions té aquest problema?
I el valor màxim,
, s'assoleix al punt
I el valor màxim,
, s'assoleix a
del segment
Molt bé!
El valor màxim s'assoleix al punt
.
Això vol dir que ha de comprar
de taronges i
de pomes, i d'aquesta manera aconseguirà un benefici de
, que serà el màxim possible.
Molt bé!
El valor màxim s'assoleix a qualsevol punt del segment .
Això vol dir que pot comprar
de taronges i
de pomes, i d'aquesta manera aconseguirà un benefici de
, que serà el màxim possible.
Regió de solucions possibles 1
Considereu la regió determinada pels vèrtexs (,), (,) i (,) i que apareix ombrejada a la figura següent:
rangex rangey linewidth 5 plot , vline 0,0, hline 0,0, fill ,, linewidth 1 text black,10.7,0.4, small, x text black,0.1,10.9, small, y parallel -1,-1,-1,12,1,0,13, grey parallel -1,-1,12,-1,0,1,13, grey parallel -0.1,-1,0.1,-1,0,1,13, black parallel -1,-0.1,-1,0.1,1,0,13, black text black,4.9,-0.15, large, 5 text black,9.9,-0.15, large, 10 text black,-0.5,5.15, large, 5 text black,-0.5,10.15, large, 10 linewidth 2
Determineu el sistema d’inequacions que la delimita.
Inequació 1
Inequació 2
Inequació 3
Regió de solucions possibles 2
Considereu la regió determinada pels vèrtexs (,), (,) i (,) i que apareix ombrejada a la figura següent:
rangex rangey linewidth 5 plot , plot , hline 0,0, fill ,, linewidth 1 text black,10.7,0.4, small, x text black,0.1,10.9, small, y parallel -1,-1,-1,12,1,0,13, grey parallel -1,-1,12,-1,0,1,13, grey parallel -0.1,-1,0.1,-1,0,1,13, black parallel -1,-0.1,-1,0.1,1,0,13, black text black,4.9,-0.15, large, 5 text black,9.9,-0.15, large, 10 text black,-0.5,5.15, large, 5 text black,-0.5,10.15, large, 10 linewidth 2 vline 0,0, black
Determineu el sistema d’inequacions que la delimita.
Inequació 1
Inequació 2
Inequació 3
Regió de solucions possibles 3
Considereu la regió determinada pels vèrtexs (,), (,) i (,) i que apareix ombrejada a la figura següent:
rangex rangey linewidth 5 plot , plot , vline 0,0, fill ,, linewidth 1 text black,10.7,0.4, small, x text black,0.1,10.9, small, y parallel -1,-1,-1,12,1,0,13, grey parallel -1,-1,12,-1,0,1,13, grey parallel -0.1,-1,0.1,-1,0,1,13, black parallel -1,-0.1,-1,0.1,1,0,13, black text black,4.9,-0.15, large, 5 text black,9.9,-0.15, large, 10 text black,-0.5,5.15, large, 5 text black,-0.5,10.15, large, 10 linewidth 2 hline 0,0, black
Determineu el sistema d’inequacions que la delimita.
Inequació 1
Inequació 2
Inequació 3
Regió de solucions possibles 4
Considereu la regió determinada pels vèrtexs (,), (,) i (,) i que apareix ombrejada a la figura següent:
rangex rangey linewidth 5 plot , plot , plot , fill ,, linewidth 1 text black,10.7,0.4, small, x text black,0.1,10.9, small, y parallel -1,-1,-1,12,1,0,13, grey parallel -1,-1,12,-1,0,1,13, grey parallel -0.1,-1,0.1,-1,0,1,13, black parallel -1,-0.1,-1,0.1,1,0,13, black text black,4.9,-0.15, large, 5 text black,9.9,-0.15, large, 10 text black,-0.5,5.15, large, 5 text black,-0.5,10.15, large, 10 linewidth 2 hline 0,0, black vline 0,0, black
Determineu el sistema d’inequacions que la delimita.
Inequació 1
Inequació 2
Inequació 3
Regió de solucions possibles 5
Considereu la regió determinada pels vèrtexs (,), (,), (,) i (,) i que apareix ombrejada a la figura següent:
rangex rangey linewidth 5 plot , plot , vline 0,0, hline 0,0, fill ,, linewidth 1 text black,10.7,0.4, small, x text black,0.1,10.9, small, y parallel -1,-1,-1,12,1,0,13, grey parallel -1,-1,12,-1,0,1,13, grey parallel -0.1,-1,0.1,-1,0,1,13, black parallel -1,-0.1,-1,0.1,1,0,13, black text black,4.9,-0.15, large, 5 text black,9.9,-0.15, large, 10 text black,-0.5,5.15, large, 5 text black,-0.5,10.15, large, 10 linewidth 2
Determineu el sistema d’inequacions que la delimita.
Inequació 1
Inequació 2
Inequació 3
Inequació 4
Regió de solucions possibles 6
Considereu la regió determinada pels vèrtexs (,), (,), (,), (,) i (,) i que apareix ombrejada a la figura següent:
rangex rangey linewidth 5 plot , plot , plot , vline 0,0, hline 0,0, fill ,, linewidth 1 text black,10.7,0.4, small, x text black,0.1,10.9, small, y parallel -1,-1,-1,12,1,0,13, grey parallel -1,-1,12,-1,0,1,13, grey parallel -0.1,-1,0.1,-1,0,1,13, black parallel -1,-0.1,-1,0.1,1,0,13, black text black,4.9,-0.15, large, 5 text black,9.9,-0.15, large, 10 text black,-0.5,5.15, large, 5 text black,-0.5,10.15, large, 10 linewidth 2
Determineu el sistema d’inequacions que la delimita.
Inequació 1
Inequació 2
Inequació 3
Inequació 4
Inequació 5
Representació gràfica d'una restricció 0
Volem representar gràficament la solució de la inequació .
Començarem representant la recta d'equació: .
Molt bé!
Aquesta recta divideix el pla en dos semiplans que aquí hem pintat de colors diferents.
rangex rangey linewidth 5 linewidth 3 fill ,, fill ,, linewidth 1 text black,10.7,0.4, small, x text black,0.1,10.9, small, y parallel -1,-1,-1,12,1,0,13, grey parallel -1,-1,12,-1,0,1,13, grey parallel -0.1,-1,0.1,-1,0,1,13, black parallel -1,-0.1,-1,0.1,1,0,13, black text black,4.9,-0.15, large, 5 text black,9.9,-0.15, large, 10 text black,-0.5,5.15, large, 5 text black,-0.5,10.15, large, 10 linewidth 2 hline 0,0, black vline 0,0, black
Quin és el semiplà solució de la inequació ?
El semiplà solució de la inequació és el de color
Representació gràfica d'una restricció 1
Volem representar gràficament la solució de la inequació
.
Començarem representant la recta d'equació:
.
Per això, comencem trobant dos punts per on passi la recta:
Molt bé!
Ara, aprofita aquests punts
i
per representar gràficament la recta
.
Molt bé!
Aquesta recta divideix el pla en dos semiplans que aquí hem pintat de colors diferents.
rangex rangey linewidth 5 plot ,(-*x)/ linewidth 3 fill ,, fill ,, linewidth 1 text black,10.7,0.4, small, x text black,0.1,10.9, small, y parallel -1,-1,-1,12,1,0,13, grey parallel -1,-1,12,-1,0,1,13, grey parallel -0.1,-1,0.1,-1,0,1,13, black parallel -1,-0.1,-1,0.1,1,0,13, black text black,4.9,-0.15, large, 5 text black,9.9,-0.15, large, 10 text black,-0.5,5.15, large, 5 text black,-0.5,10.15, large, 10 linewidth 2 hline 0,0, black vline 0,0, black
Quin és el semiplà solució de la inequació
?
El semiplà solució de la inequació és el de color
Representació gràfica d'una restricció 2
Volem representar gràficament la solució de la inequació
.
Començarem representant la recta d'equació:
.
Per això, comencem trobant dos punts per on passi la recta:
Per poder fer la representació gràfica cal que l'abscissa d'aquests punts sigui un valor entre 0 i 10. Millor que trobis punts amb coordenades enteres.
Ara, aprofita aquests punts
i
per representar gràficament la recta
.
Molt bé!
Aquesta recta divideix el pla en dos semiplans que aquí hem pintat de colors diferents.
rangex rangey linewidth 5 plot ,(-*x)/ linewidth 3 fill ,, fill ,, linewidth 1 text black,10.7,0.4, small, x text black,0.1,10.9, small, y parallel -1,-1,-1,12,1,0,13, grey parallel -1,-1,12,-1,0,1,13, grey parallel -0.1,-1,0.1,-1,0,1,13, black parallel -1,-0.1,-1,0.1,1,0,13, black text black,4.9,-0.15, large, 5 text black,9.9,-0.15, large, 10 text black,-0.5,5.15, large, 5 text black,-0.5,10.15, large, 10 linewidth 2 hline 0,0, black vline 0,0, black
Quin és el semiplà solució de la inequació
?
El semiplà solució de la inequació és el de color
Trobar la restricció 0
Es pretén que trobis la inequació corresponent a una representació gràfica
Comença trobant l'equació de la recta de color representada gràficament a continuació.
rangex rangey linewidth 5 linewidth 3 fill ,, linewidth 1 text black,10.7,0.4, small, x text black,0.1,10.9, small, y parallel -1,-1,-1,12,1,0,13, grey parallel -1,-1,12,-1,0,1,13, grey parallel -0.1,-1,0.1,-1,0,1,13, black parallel -1,-0.1,-1,0.1,1,0,13, black text black,4.9,-0.15, large, 5 text black,9.9,-0.15, large, 10 text black,-0.5,5.15, large, 5 text black,-0.5,10.15, large, 10 linewidth 2 hline 0,0, black vline 0,0, black
Molt bé!
Ara ja has de trobar la desigualtat.
rangex rangey linewidth 1 linewidth 3 fill ,, linewidth 1 text black,10.7,0.4, small, x text black,0.1,10.9, small, y parallel -1,-1,-1,12,1,0,13, grey parallel -1,-1,12,-1,0,1,13, grey parallel -0.1,-1,0.1,-1,0,1,13, black parallel -1,-0.1,-1,0.1,1,0,13, black text black,4.9,-0.15, large, 5 text black,9.9,-0.15, large, 10 text black,-0.5,5.15, large, 5 text black,-0.5,10.15, large, 10 linewidth 2 hline 0,0, black vline 0,0, black
La desigualtat és:
Trobar la restricció 1
Es pretén que trobis la inequació corresponent a una representació gràfica.
Comença trobant l'equació de la recta de color representada gràficament a continuació. Passa pels punts
i
.
rangex rangey linewidth 5 plot ,(-*x)/ linewidth 3 fill ,, linewidth 1 text black,10.7,0.4, small, x text black,0.1,10.9, small, y parallel -1,-1,-1,12,1,0,13, grey parallel -1,-1,12,-1,0,1,13, grey parallel -0.1,-1,0.1,-1,0,1,13, black parallel -1,-0.1,-1,0.1,1,0,13, black text black,4.9,-0.15, large, 5 text black,9.9,-0.15, large, 10 text black,-0.5,5.15, large, 5 text black,-0.5,10.15, large, 10 linewidth 2 hline 0,0, black vline 0,0, black
Equació de la recta:
Molt bé!
Ara ja has de trobar la desigualtat.
rangex rangey linewidth 1 plot ,(-*x)/ linewidth 3 fill ,, linewidth 1 text black,10.7,0.4, small, x text black,0.1,10.9, small, y parallel -1,-1,-1,12,1,0,13, grey parallel -1,-1,12,-1,0,1,13, grey parallel -0.1,-1,0.1,-1,0,1,13, black parallel -1,-0.1,-1,0.1,1,0,13, black text black,4.9,-0.15, large, 5 text black,9.9,-0.15, large, 10 text black,-0.5,5.15, large, 5 text black,-0.5,10.15, large, 10 linewidth 2 hline 0,0, black vline 0,0, black
La desigualtat és:
Vèrtexs d'una regió 1
Donada la regió que apareix ombrejada a la figura següent i està definida pel sistema d'inequacions següent:
rangex rangey linewidth 2 plot black, vline 0,0, black hline 0,0, black fill ,, text black,10.7,0.4, small, x text black,0.1,10.9, small, y text black,0.2,-0.1, large, O text black,+0.2,+0.3, large, A text black,+0.2,+0.4, large, B
Trobeu els seus vèrtexs:
Vèrtexs d'una regió 2
Donada la regió que apareix ombrejada a la figura següent i està definida pel sistema d'inequacions següent:
rangex rangey linewidth 2 plot black, plot black, vline 0,0, black hline 0,0, black fill ,, text black,10.7,0.4, small, x text black,0.1,10.9, small, y text black,+0.2,+0.3, large, A text black,+0.2,+0.4, large, B text black,+0.2,+0.4, large, C
Trobeu els seus vèrtexs:
Vèrtexs d'una regió 3
Donada la regió que apareix ombrejada a la figura següent i està definida pel sistema d'inequacions següent:
rangex rangey linewidth 2 plot black, plot black, vline 0,0, black hline 0,0, black fill ,, text black,10.7,0.4, small, x text black,0.1,10.9, small, y text black,+0.2,+0.3, large, A text black,+0.2,+0.4, large, B text black,+0.2,+0.4, large, C
Trobeu els seus vèrtexs:
Vèrtexs d'una regió 4
Donada la regió que apareix ombrejada a la figura següent i està definida pel sistema d'inequacions següent:
rangex rangey linewidth 2 plot black, plot black, plot black, vline 0,0, black hline 0,0, black fill ,, text black,10.7,0.4, small, x text black,0.1,10.9, small, y text black,+0.2,+0.3, large, A text black,+0.2,+0.4, large, B text black,+0.2,+0.4, large, C
Trobeu els seus vèrtexs:
Vèrtexs d'una regió 5
Donada la regió que apareix ombrejada a la figura següent i està definida pel sistema d'inequacions següent:
rangex rangey linewidth 2 plot black, plot black, vline 0,0, black hline 0,0, black fill ,, text black,10.7,0.4, small, x text black,0.1,10.9, small, y text black,+0.2,-0.2, large, A text black,+0.2,+0.4, large, B text black,+0.2,+0.4, large, C text black,+0.2,+0.4, large, D
Trobeu els seus vèrtexs:
Vèrtexs d'una regió 6
Donada la regió que apareix ombrejada a la figura següent i està definida pel sistema d'inequacions següent:
rangex rangey linewidth 2 plot black, plot black, plot black, vline 0,0, black hline 0,0, black fill ,, text black,10.7,0.4, small, x text black,0.1,10.9, small, y text black,+0.2,-0.2, large, A text black,+0.2,+0.4, large, B text black,+0.2,+0.4, large, C text black,+0.2,+0.4, large, D text black,+0.2,+0.4, large, E
Trobeu els seus vèrtexs: